Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём, меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен \( \sqrt{23} \).
Нужен точный чертеж и линейка с окружностями разных диаметров. Сильно помогают радиусы и высоты.
Надо запомнить эту ситуацию — касание двух окружностей. Постройте касательную в этой точке — найдите равные углы.
Если точно построить, заметно, что AB–средняя линия, что доказывается из равнобедренных треугольников или по равенству вписанного угла и угла между хордой и касательной.
Доказать, что OB перпендикулярно KN, а OA -KM. Убедиться, что треугольники -OKN и OKM — равнобедренные.
Доказать, что средняя линия треугольника разбивает пополам любой отрезок соединяющий точку основания и противоположную вершину.
В треугольнике средняя линия и отрезок соединяющий точку основания и вершину пересекаются. Основание разбивается отрезком на две части длиной 4 и 6. На какие части отрезок разбивает среднюю линию?
Выразить NC, CM, CH через x.
Вспомните правило пересечения хорд. Выразить KL и LC через x . Затем OC.
Если в условии 1-2 размера и отношение отрезков, то такие задачи решаются через подобие треугольников. К сожалению, их бывает трудно найти. Докажите, что треугольник OKC подобен треугольнику OCH. Составьте отношение подобия, найдите x.
Есть и другой способ найти MN, но этот мне больше нравится.
Ответ: \( \frac{115}{6} \).