Варианты 10, 14 из 14, сборник Ященко 2022

Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.

а) Докажите, что ​\( \angle CNM=\angle MBC. \)

б) Найдите CN, если  AB=AC=15, BC=18.


Угол  \(  \angle CNM \)​ и угол  \( \angle MBC \)​ опираются на один отрезок. Если они равны, то точки B, N, M, C должны принадлежать одной окружности. Докажем это. Чему равен угол между биссектрисами смежных углов?

Докажем, что точка A — середина NM. Пойдем от обратного. Допустим, что точка O — середина NM — центр окружности — отличная от A. Но тогда получается, что существует два различных треугольника с равной стороной и двумя примыкающими углами, что невозможно. Следовательно точки A и O совпадают.

Пусть ​\( \alpha=\angle ABC. \)​ Тогда -​\( sin(\angle NBC)=sin(90+\frac{\alpha}{2})= cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1+cos{\alpha}}{2}} \)​ ​\( cos \alpha \)​ найти очень просто — отношение прилежащего катета к гипотенузе. И теорема синусов нам в помощь.


Ответ: ​\( 12\sqrt{5} \)​. 

Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N. а) Докажите, что ​\( \angle CNM=\angle MBC. \)​ б) Найдите CN, если  AB=AC=15, BC=18.