Вариант 1 из 14, сборник Ященко 2022

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник BCL равнобедренный.

б) Известно, что \( cos\angle ABC=\frac{1}{6} \).  В каком отношении прямая DL делит сторону AB?


Дополнительное построение второй биссектрисы  CM сильно облегчает доказательство пункта а). Докажите, что ​\( \angle MCL=\angle CLD \)

Есть прекрасный прием — если известен косинус угла, например ​\( \frac{2}{3} \)​,  то катет и гипотенузу можно обозначить за ​\( 2x \)​ и ​\( 3x \)​.

Выразите через x  AL и LC, используя свойство биссектрисы треугольника.

Выразите через x отрезки AL, LC, CD. Вспомните теорему Менелая.


Ответ: ​\( \frac{AK}{KB}=\frac{9}{7} \)

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник BCL равнобедренный. б) Известно, что \( cos\angle ABC=\frac{1}{6} \).  В каком отношении прямая DL делит сторону AB?